那女子搬弄了一會，算出是「五」，抬頭又向黃蓉望了一眼，臉上驚訝的神色迅即消去，又見怒容，似乎是說：「原來是個小姑娘。你不過湊巧猜中，何足為奇？別在這裡打擾我的正事。」順手將「二百三十五」五字記在紙上，又計下一道算題。
這次是求三千四百零一萬二千二百二十四的立方根，她剛將算子排為商、實、方法、廉法、隅、下法六行，算到一個「三」，黃蓉輕輕道：「三百二十四。」
那女子「哼」了一聲，哪裡肯信？布算良久，約一盞茶時分，方始算出，果然是三百二十四。
那女子伸腰站起，但見她額頭滿布皺紋，面頰卻如凝脂，一張臉以眼為界，上半老，下半少，卻似相差了二十多歲年紀。她雙目直瞪黃蓉，忽然手指內室，說道：「跟我來。」拿起一盞油燈，走了進去。
黃蓉見狀跟上，獨孤逸對黃蓉豎起大拇指，也跟著過去。
只見那內室牆壁圍成圓形，地下滿鋪細沙，沙上畫著許多橫直符號和圓圈，又寫著些「太」、「天元」、「地元」、「人元」、「物元」等字。
獨孤逸生怕落足踏壞了沙上符字，依靠在門邊，不敢入內。
黃蓉自幼受父親教導，頗精歷數之術，見到地下符字，知道儘是些術數中的難題，那是算經中的「天元之術」，雖然甚是繁複，但只要一明其法，也無甚難處。
黃蓉從腰間抽出竹棒，蹲在門檻上，隨想隨在沙上書寫，片刻之間，將沙上所列的七八道算題盡數解開。
這些算題那女子苦思數月，未得其解，至此不由得驚訝異常，呆了半晌，忽問：「你是人嗎？」
黃蓉微微一笑，道：「天元四元之術，何足道哉？算經**有一十九元，』人『之上是仙，明、霄、漢、壘、層、高、上、天，』人『之下是地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。算到第十九元，方才有點不易罷啦！」
那女子沮喪失色，身子搖了幾搖，突然一交跌在細沙之中，雙手捧頭，苦苦思索，過了一會，忽然抬起頭來，臉有喜色，道：「你的算法自然精我百倍，可是我問你：將一至九這九個數字排成三列，不論縱橫斜角，每三字相加都是十五，如何排法？」
黃蓉心想：「我爹爹經營桃花島，五行生剋之變，何等精奧？這九宮之法是桃花島陣圖的根基，豈有不知之理？」當下低聲誦道：「九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。」邊說邊畫，在沙上畫了一個九宮之圖。
那女子面如死灰，嘆道：「只道這是我獨創的秘法，原來早有歌訣傳世。」
黃蓉笑道：「不但九宮，即使四四圖，五五圖，以至百子圖，亦不足為奇。就說四四圖罷，以十六字依次作四行排列，先以四角對換，一換十六，四換十三，後以內四角對換，六換十一，七換十。這般橫直上下斜角相加，皆是三十四。」